Essence of Calculus - 3Blue1Brown

最近决定开始看这个系列,简单写一点原理相关的笔记。

由于只写了求导部分,所以命名改为 “Essence of Derivation”。

内容写的很粗略,有需要请在 Youtube 观看 3Blue1Brown 的视频。

Chapter 1

圆面积公式

将圆剪成若干个宽度均为 $dr$ 的环,圆的面积就是这些环的面积和。

如果把环拉直成一个长条,在 $dr$ 很小的时候可以看作一个矩形。

如果内半径为 $r$,则这个矩形的面积约为 $2\pi r\times dr$ ($\pi$ 的定义)。

考虑把这些矩形按照对应内半径 $r$ 从小到大摆在数轴上,横轴代表半径长度 $r$,纵轴代表对应环长 $y$。

可以发现如果做一条直线 $y=2\pi r$,所有矩形条顶部恰好触及直线。

当 $dr$ 取得越来越小的时候,所有矩形的面积和就越来越接近直线与 $r$ 轴围成的图形面积。

因此对于半径为 $R$ 的圆,有面积公式

微积分基本定理

如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续,并且存在原函数 $F(x)$,则

也就表明了某种意义上,积分与求导互为逆运算。

Chapter 2

导数的定义

(此处的 $\Delta x$ 在下文中常写作 $dx$)

若函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内每一处均可导,则可在 $(a,b)$ 上定义 $f(x)$ 的导函数为:

具体的,我们称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数为:

我们称 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上为 $f’(x)$ 的原函数

导数的含义

导数并不是具体的很小的 $dx$ 对应的比值,而是 $dx\to 0$ 时这个比值的极限。

从图像角度理解,当 $dx$ 比较大的时候,所得的比值是函数图像上相距为 $dx$ 的两点所连割线的斜率。

当 $dx$ 的值,也就是两点距离无限逼近于 $0$ 时,过着两点割线也就无限逼近在某一点时图像切线。

所以说导数确切的定义, 并不是“瞬时变化率”,而看作是求“某一点附近的变化率”的最佳近似

Chapter 3

用几何求导

考虑从几何的角度理解 $f(x)=x^2$ 的求导过程,可以将函数的值看作一个边长为 $x$ 的正方形。

那么函数的变化量 $df$ 就相当于,当边长增加 $dx$ 时,正方形面积的增量。

考虑将增加的面积拆成三部分,即两个矩形和一个小正方形,因此

因为 $dx$ 是一个很小很小的值,因此可以将其忽略,也就得到了 $(x^2)’=2x$ 。

实际在求导的过程中,任何约分后含有 $dx$ 的项,也就是约分前增量中含有两项以上与 $dx$ 相关的项,都可以看做无限小并忽略计算。


再考虑 $f(x)=x^3$ 的求导,那么相当于一个立方体,边长增加了 $dx$ 。

此时有三个面,三个棱和一个顶点都各自延伸出一个小方块,增量为

后两项约分后依旧含有 $dx$ ,可以直接忽略,因此有 $(x^3)’=3x^2$ 。


再考虑 $f(x)=x^{-1}$ 在 $x$ 正半轴的求导,$x^{-1}$ 的含义就是:“谁乘 $x$ 结果为 $1$ ”

那么在第一象限想想一个矩形,左下角为原点,边与坐标轴平行或垂直,强制面积是 $1$。

那么考虑在 $x$ 轴上的位置增加 $dx$ 时,为了保证面积不超过 $1$ ,$y$ 轴上的位置减小了 $df$。

此时矩形上方减少的面积与右侧增加的面积是相等的,因此我们很容易求出

因此有 $(x^{-1})’=-x^{-2}$ 。


最后考虑 $f(x)=\sqrt x$ 的在 $x$ 非负半轴的求导,此时 $\sqrt x$ 的含义是,面积为 $x$ 的正方形的边长长度。

考虑面积增加了 $dx$,那么边长会增加 $df$ ,此时新增的面积为两个矩形和一个正方形,而正方形的面积为 $df^2$,可以忽略。因此 $dx$ 相当于两个细长矩形的面积和。

因此 $(\sqrt x)’=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ 。

幂函数求导

由上述几个例子可以发现幂函数求导基本的规律:

我们尝试去证明这一过程,考虑将 $x$ 增加一个微小的量 $dx$,函数值会变为 $(x+dx)^n$。

由上一部分的推导可以知道含有两项以上 $dx$ 相关的项是可以忽略不记的,因此每项中至多一个 $dx$。

那么需要保留的结果是

因此有 $df(x^n)=nx^{n-1}dx$,即 $(x^n)’=nx^{n-1}$ 。

三角函数求导

先考虑 $f(\theta)=\sin(\theta)$ 的求导。

首先要知道三角函数基于单位圆的定义,单位元上弧长与弧度制表示的角度大小相等, $\sin(\theta)$ 的函数值等于对应点 $y$ 坐标的值。

那么考虑角度增加 $d\theta$,也就是弧长增加 $d\theta$ ,$y$ 坐标的增量 $d(\sin(\theta))$ 是多少。

我们放大弧长增长的那一小部分,此时弧可以近似看成线段,线段的长度是 $d\theta$,那么对应的即可构造如图所示的直角三角形,其平行于 $y$ 轴的边长即为 $d(\sin(\theta))$ 。

容易发现这个三角形与原来的大三角形是相似的,也就是说,我们所求的导数可以表示成


类似的去考虑 $f(\theta)=\cos(\theta)$ 的求导,我们依旧可以用上面那个三角形建立相似关系。

注意这次在第一象限的时候角度增加 $d\theta$,$x$ 轴的坐标会减小,有

因此事实上 $f(\theta)=\cos(\theta)$ 的导数为 $-\sin(\theta)$ 。

Chapter 4

加法法则

两函数和的导数,等于两个函数导数的和。

从图像的角度看, $dx$ 带来的两函数增量是独立的。

乘法法则

两函数积的导数,等于左乘右导+右乘左导。

从矩形面积的角度看,两边长分别是函数值,增量分为三部分:$f(x)g’(x)$,$g(x)f’(x)$,$f’(x)g’(x)$ ,而第三项可以忽略不计。

链式法则

定义函数复合为,一个函数的自变量,是另一个函数的函数值,即 $f(g(x))$ 的形式。

复合函数的导数,等于以内函数作为自变量的外函数导数,加上内函数的导数。

减法法则

是用加法和乘法法则展开即可。

因此我们可以统一的写成 $(f(x)\pm g(x))’=f’(x)\pm g’(x)$ 。

常数乘法

用乘法法则展开即可,我们设 $c$ 是一个常数。

多项式求导

由幂函数求导公式和加法法则即可得出。

除法法则

$\frac{1}{f(x)}$ 其实可以看做 $f(x)$ 与 $h(x)=\frac{1}{x}$ 的复合函数,即 $h(f(x))$ 。

然后用链式法则和乘法法则展开即可。

Chapter 5

指数函数求导

考虑 $f(x)=a^x$ 的求导,此处 $a$ 为一正常数。

后面的常数项现在不便于确定,因此人们定义自然对数 $e$:满足 $a=e$ 时这个常数为 $1$ ,即

因此有 $(e^x)’=e^x$ 。


考虑一般情况,我们知道 $a$ 可以写作 $e^{\ln a}$ 的形式,因此有 $a^x=e^{x\ln a}$ 。

考虑链式法则求解 $e^{c\times x}$ 形式的函数,设 $f(x)=c\times x$,也就是求导 $e^{f(x)}$:

因此我们就可以写出一般形式指数函数的求导法则了:

对数函数求导

根据反函数求导法则,若 $f(x) = \log_{a}x$,则

特殊的,有