Concepts from Set Theory

THE POWER SET OF A SET

Power Set \(\mathscr{P}(S)=\{s|s\subseteq S\},\ |\mathscr{P}(S)|=2^{|S|}\) .

THE CARTESIAN PRODUCT SET. MAPS

Cartesian Product Set \(S\times T = \{(s,t)|s\in S, t\in T\},\ |S\times T| = |S||T|\) .

Map of a set \(S\) into a set \(T\) ( \(S \stackrel{\alpha}{\rightarrow} T\) ) : domain \(S\) , co-domain \(T\) , a subset \(\alpha\) of \(S\times T\) having properties:

1. For any \(s \in S\) there exists a \(t \in T\) such that \((s, t) \in \alpha\).
2. "Single-valuedness": If \((s, t)\) and \(\left(s, t^{\prime}\right) \in \alpha\) then \(t=t^{\prime}\).

Composite / Product / Resultant of \(\alpha\) and \(\beta\) : \((\beta \alpha)(s)=\beta(\alpha(s))\) .

• Composition of maps satisfies the associative law : \(\gamma(\beta\alpha)=(\gamma\beta)\alpha\)

Surjective : if im \(\alpha=T\), that is, if the range coincides with the co-domain.

Injective : if distinct elements of \(S\) have distinct images in \(T\), that is, if \(s_1 \neq s_2 \Rightarrow \alpha\left(s_1\right) \neq \alpha\left(s_2\right)\).

Bijective (a one to one correspondence) : If \(\alpha\) is both injective and surjective.

\(S \stackrel{\alpha}{\rightarrow} T\) is bijective if and only if there exists a map \(T \stackrel{\beta}{\rightarrow} S\) such that \(\beta \alpha=1_S\) and \(\alpha \beta=1_T\).

Proof. Suppose \(S \stackrel{\alpha}{\rightarrow} T\) is bijective. Consider the subset \(\beta\) of \(T \times S\) of elements \((\alpha(s), s)\). If \(t \in T\), surjectivity of \(\alpha\) implies there is an \(s\) in \(S\) such that \(\alpha(s)=t\). Hence condition 1 in the definition of a map from \(T\) to \(S\) holds for the set \(\beta\) of pairs \((\alpha(s), s) \in T \times S\). Condition 2 holds for \(\beta\) by the injectivity of \(\alpha\), since if \(\left(t, s_1\right)\) and \(\left(t, s_2\right)\) are in \(\beta\), then \(\alpha\left(s_1\right)=t\) and \(\alpha\left(s_2\right)=t\), so \(s_1=s_2\). Hence we have the map \(T \stackrel{\beta}{\rightarrow} S\). If \(s \in S\), the facts that \((s, \alpha(s)) \in \alpha\) and \((\alpha(s), s) \in \beta\) imply that \(\beta(\alpha(s))=s\). Thus \(\beta \alpha=1_s\). If \(t \in T\), we have \(t=\alpha(s), s \in S\), and \((t, s) \in\) \(\beta\), so \(\beta(t)=s \in S\). Hence \(\alpha(\beta(t))=\alpha(s)=t\), so \(\alpha \beta=1_T\). Conversely, suppose \(S \stackrel{\alpha}{\rightarrow} T, T \stackrel{\beta}{\rightarrow} S\) satisfy \(\beta \alpha=1_S, \alpha \beta=1_T\). If \(t \in T\), let \(s=\beta(t)\). Then \(\alpha(s)=\) \(\alpha(\beta(t))=t\); hence \(\alpha\) is surjective. Next suppose \(\alpha\left(s_1\right)=\alpha\left(s_2\right)\) for \(s_i \in S\). Then \(s_1=\) \(\beta\left(\alpha\left(s_1\right)\right)=\beta\left(\alpha\left(s_2\right)\right)=s_2\), and \(\alpha\) is injective.

Inverse with "dressing-undressing principle" : \((\beta \alpha)^{-1}=\alpha^{-1} \beta^{-1}\) .

EQUIVALENCE RELATIONS. FACTORING A MAP

Equivalence Relation : Reflexive property \(aEa\) , Symmetry \(a E b \Rightarrow b E a\) , Transitivity \(a E b\ \text{and}\ b E c \Rightarrow a E c\) .

• equivalence class determined by \(a\) : \(\bar{a}_E\) (or simply \(\bar{a}\) ) \(=\{b \in S \mid b E a\}\).
• An equivalence relation is equivalent to that of a partition of a set. \(\pi_E =\{\bar{a} \mid a \in S\}\).
• the quotient set of \(S\) relative to the relation \(E\) : \(S / E=\pi=\{\bar{a} \mid a \in S\}\) , a subset of the power set \(\mathscr{P}(S)\) of \(S\).
• natual map : \(v: a \rightarrow \bar{a} .\)

Inverse Image : Construct \(E_\alpha\) by map \(S \stackrel{\alpha}{\rightarrow} T\) : \(a E_\alpha b\Leftrightarrow \alpha(a)=\alpha(b)\) , then \(\alpha^{-1}(c)=\{a\in S|\alpha(a)=c\}\)

\(\bar{\alpha}:S/E_\alpha\to T\) the map of \(S/E_{\alpha}\) induced by \(\alpha\) : \(\bar{\alpha}(\bar{a})=\alpha(a),\ \bar{a}=\alpha^{-1}(\alpha(a))\) , injective.

Factorization of map \(\alpha\) : \(\alpha=\bar{\alpha}v\) ，where \(v\) is the natural map of \(S\) to \(S/E_\alpha\) .

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进入正题！

研究角度：1. 本身性质；2. 子结构（子群、正规子群）；3. 映射关系（群同构，群同态）

Monoids of Transformations and Abstract Monoids

semi-group. 半群：封闭性，结合律。

monoid. 幺半群 \((M,p,1)\) ：封闭性，结合律，单位元。

submonoid. 子幺半群 \((N,p,1)\) ：集合包含 \(N\subseteq M\) ，是幺半群。

set of transformations of S. 在 \(S\) 上的变换集 \(M(S)\) ：包含所有 \(S\to S\) 的函数的集合，\(|M(S)|=|S|^{|S|}\) 。

monoid of transformations. 变换幺半群：\((M(S), \text{映射复合}, 1_S)\) 的子群

Groups of Transformations and Abstract Groups

group. 群 \((G,p,1)\) ：封闭性，结合律，单位元，所有元素可逆。

subgroup. 子群 \((H,p,1)\) ：集合包含 \(H\subseteq G\) ，是群。记作 \(H\le G\) 。

the group of invertible elements of M. 幺半群 \(M\) 中可逆元组成的群 \(U(M)\) ：容易验证是一个群。

symmetric group of the set S. \(S\) 的对称群 \(\text{Sym}\ S=U(M(S))\) : \(S\) 上的可逆变换构成的群（全体双射）。

group of transformations. 变换群：对称群 \(\text{Sym}\ S\) 的子群。

symmetric group on n letters. \(n\) 元对称群 \(S_n\) ：\(\{1,2,\dots n\}\) 的全体排列构成的群，\(|S_n|=n!\) 。

permutation group. 置换群：有限元对称群 \(S_n\) 的子群。

Isomorphism. Cayley's theorem

isomorphic. 幺半群/群同构：存在双射 \(\eta:M\to M'\) ，保运算 \(\eta(xy)=\eta(x)\eta(y)\) ，且 \(\eta(1)=1'\) （可由保运算推出）。

isomorphism. 同构函数 \(\eta\) ，可能不止一个，例如 \((\mathbb{R},+,0)\) 和 \((\mathbb{R}^+,\cdot\ ,1)\) 的同构函数可以取 \(\eta(x)=a^x\ (a>0,a\not= 1)\) 。

同构是一个等价关系，可以通过单位映射实现自反性，同构函数的求逆和复合实现对称性和传递性。

Cayley 定理： (1) 任意幺半群 \(M\) 同构于一个交换幺半群；(2) 任意群 \(G\) 同构于一个交换群。

（1）对 \(M\) 中的每个元素 \(a\) 定义左平移变换 \(a_L:M\to M, a_L(x)=ax\) ，则 \(M\) 同构于变换幺半群 \(M_L=\{a_L|a\in M\}\) 。

（2）同理构造，额外验证对求逆元封闭：\(1_L=(a^{-1}a)_L=(a^{-1})_La_L\) ，即 \(a_L\) 的逆是 \((a^{-1})_L\) 。

推论：任意 \(n\) 阶有限群同构于一个 \(n\) 元置换群。

Generalized Associativity. Commutativity

广义结合律： 由结合律可导出 \((\prod_{i=1}^na_i)(\prod_{j=1}^m a_{j+n})=\prod_{i=1}^{n+m} a_k\) ，进一步可定义整数次幂运算 \(a^n\) 和 \(a^{-n}=(a^{-1})^n\)

commute. 称 \(a,b\in M\) 是可交换的，当且仅当 \(ab=ba\) 。对于一组可交换的元素连乘，运算的顺序并不重要。

commutative monoid. 交换幺半群：幺半群 \(M\) ，任意两元素 \(a,b\) 均可交换。

abelian groups (commutative groups). 阿贝尔群（交换群）：群 \(G\) ，任意两元素 \(a,b\) 均可交换。

centralizer of a. \(a\) 的中心化子 \(C(a)\) ： \(M\) 中与 \(a\) 可交换的元素集。易证 \(C(a)\) 是 \(M\) 的子幺半群，定义同样适用于群。

引理：幺半群 \(M\) 的若干个子幺半群的交仍然是幺半群，群 \(G\) 的若干个子群的交仍然是群。

将中心化子的定义扩展到集合，定义集合 \(A\) 的中心化子 \(C(A) = \cap_{a\in A} C(a)\) ，由引理 \(C(A)\) 是子幺半群（子群）。

the center of M. \(M\) 的中心 \(C(M)\) ：含义是 \(M\) 中可以与所有元素交换的元素集，显然包含 \(1\) 。

在交换幺半群/交换群中我们常用加号来代替乘号来表示对应运算，用 \(0\) 代替 \(1\) 来表示单位元。

Submonoids and Subgroups Generated by a Subset. Cyclic Groups

the submonoid generated by S. 由 \(S\) 生成的子幺半群 \(\langle S\rangle\) ：对于 \(S\subseteq M\) ， \(M\) 中包含 \(S\) 的最小的子幺半群。

• 抽象刻画（存在性）：取所有包含 \(S\) 的子群求交即为 \(\langle S\rangle\) ，且 \(\langle S\rangle\) 是任意包含 \(S\) 的子群的子群；

• 构造性证明：\(\langle S\rangle=\{1,s_1s_2\cdots s_r|s_i\in S, r \text{为有穷正整数}\}\) ，首先右侧是个幺半群，然后证互相包含：

  1. 由幺半群的运算封闭性， \(\langle S\rangle\) 包含右侧构成的幺半群；

  2. 右侧的集合包含 \(S\) （取 \(r=1\) ) ，由存在性引理，进一步的右侧的幺半群包含 \(\langle S\rangle\) 。

the subgroup generated by S. 由 \(S\) 生成的子群 \(\langle S \rangle\) ：定义同上述，\(\langle S\rangle=\{1,s_1s_2\cdots s_r|s_i\ \text{or}\ s_i^{-1}\in S, r \text{为有穷正整数}\}\)

cyclic group. 循环群：由一个元素的集合生成的群 \(G=\langle a\rangle=\{a^k|k\in \mathbb{Z}\}\) ，显然是一个阿贝尔群（可交换）。

• 任意无限循环群都与 \((\mathbb{Z},+,0)=\langle1\rangle\) 同构，通过映射 \(n\to a^n\) 。
• 任意有限阶（\(n\) 阶）循环群都与 \(n\) 次单位根生成的循环群 \(U_n=\{x|x^n=1\}\) 同构。

1. 循环群的子群是循环群；

2. 无限循环群 \(\langle a\rangle\) 的子群都是无限的，且 \(s\to \langle a^s\rangle\) 是 \(\mathbb{N}\) 到 \(\langle a\rangle\) 的全体子群的双射（ \(a\) 任意次幂生成的群两两不同）；

3. \(n\) 阶循环群 \(\langle a\rangle\) 的子群的阶都是 \(n\) 的因数，且对于 \(n\) 的每个因数 \(q\) ，有且仅有一个 \(\langle a\rangle\) 的子群阶为 \(q\) 。

   • 这个 \(q\) 阶子群可以被构造性的刻画：\(H=\{b|b\in \langle a\rangle,b^q=1\}\) 。

the order of a 元素 \(a\) 的阶 \(o(a)\) ：若 \(\langle a \rangle\) 是无限群 \(\langle a \rangle=+\infty\) ；否则 \(o(a)=|\langle a\rangle|=r\) ，其中 \(r\) 是满足 \(a^r=1\) 的最小正整数。

• 若 \(a^m=1\) ，则 \(o(a) | m\) 。
• 若 \(o(a)=r<+\infty\) ，则 \(o(a^k)=[r,k]/k=r/(r,k)\) ，因此 \(o(a^k)|r\) 。

exponent of a finite group G. 有限群 \(G\) 的方次数 \(\text{exp}\ G=\) 最小的正整数 \(e\) ，满足 \(\forall x \in G,\ x^e=1\) 。

定理：有限交换群是循环群的充要条件为方次数等于阶数（ \(\text{exp}\ G = |G|\) ）。

• 引理 1. 设 \(G\) 为有限交换群，设 \(g,h\in G\) 且 \(o(g)=m,o(h)=n,(m,n)=1\) ，则 \(o(gh)=mn\) 。

  • \((gh)^{mn}=g^{mn}h^{mn}=(g^m)^n(h^n)^m=1\) 。

  • 假设 \((gh)^r=1\) ，设 \(k=g^r=h^{-r}\in\langle g\rangle \cap \langle h\rangle\) ，有 \(o(k)|m,o(k)|n\Rightarrow o(k)|(m,n)\Rightarrow o(k)=1\)

    因此 \(g^r=k=1\Rightarrow (gh)^r=g^rh^r=h^r=1\) 因此 \(m|r,n|r\Rightarrow [m,n]|r\) 又 \((m,n)=1\) 有 \(mn|r\) 。

• 引理 2. 设 \(G\) 为有限交换群，设 \(g=\arg\max_{g\in G} o(g)\) ，则 \(\text{exp}\ G=o(g)\) 。

  • 标准分解 \(o(g)=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\dots p_s^{e_s},o(h)=p_1^{f_1}p_2^{f_2}\dots p_s^{f_s}\ (e_i,f_i\ge 0)\)

  • 反证：若 \(h\in G, h^{o(g)}\not =1\) ，则一定存在某个 \(f_i> e_i\) ，不妨设 \(f_1>e_1\) 。

    接下来我们构造一个与 \(\arg\max\) 冲突的元素：设 \(g'=g^{p_1^{e_1}},h'=h^{p_2^{f_2}\dots p_s^{f_s}}\) ，

    于是有 \(o(g')=p_2^{e_2}\dots p_s^{e_s},o(h')=p_1^{f_1}\) ，那么由引理 1， \(o(g'h')=p_1^{f_1}p_2^{e_2}\dots p_s^{e_s}>o(g)\) 矛盾。

• " \(\Rightarrow\) " 证明：由于是循环群 \(G=\langle g\rangle\) ，\(|G|=|\langle g\rangle|=o(g)=\text{exp}\ G\) 。

• " \(\Leftarrow\) " 证明：由引理 2，存在 \(g\) 使得 \(\text{exp}\ G=o(g)\) ，又由于交换群 \(G\) 满足 \(\text{exp}\ G=|G|\) ，因此 \(|G|=o(g)=|\langle g\rangle|\) 。

Cycle Decomposition of Permutations

r-cycle \(r\) - 循环：若置换 \(\gamma\) 满足去掉稳定点后，满足置换效果是循环，即对于所有不是稳定点的下标 \(i_1,i_2,\dots,i_r, (r>1)\) ： \[ \gamma(i_1)=i_2,\gamma(i_2)=i_3,\dots,\gamma(i_{r-1})=i_r,\gamma(i_r)=i_1 \] 此时我们称这组数是一个 \(r\) - 循环，记作 \(\gamma=(i_1i_2\dots i_r)\) ，即每个点都会换成右侧的，同理可以记作 \(\gamma=(i_2i_3\dots i_ri_1)\) 等等。

用排列的复合可得 \(\gamma^k(i_j)=i_{j+k}\) (下标每 \(r\) 循环)。明显 \(\gamma^r=1\) 且 \(\gamma^k \not = 1,1\le k<r\) ，所以 \(\gamma\) 的阶（order）为 \(r\) 。

disjoint 若两个循环包含的元素无交，则称两个循环不相交，对应的排列复合等同于分别运算，此时排列复合是可交换的。

考虑一组循环（对应置换）的连乘积 \(\alpha=(i_1i_2\dots i_{n_1})(j_1j_2\dots j_{n_2})\dots(l_1l_2\dots l_{n_k})\) ，那么 \(o(\alpha)=[n_1,n_2,\dots,n_m]\) 。

若我们引入 \(1\) - 循环，则很容易得到置换唯一分解为不相交的循环的方法，每次从最小未使用的元素找到一个循环。

transposition 对换：一个 \(2\) - 循环，即 \((ab)\) 的形式。任何一个 \(r\) - 循环都可以拆成 \(r-1\) 个对换的乘积，即： \[ (i_1i_2\dots i_r)=(i_1i_r)\dots (i_1i_3)(i_1i_2) \] 因此一个置换 \(\alpha\) 可以拆成 \(N(\alpha)=\sum (n_i-1)\) 个对换的乘积。

一个置换的对换分解不是唯一的（在最简单的对换分解基础上可以引入很多额外的对换），但共性是对换个数的奇偶性相同。

对换诱导分裂公式：\((ab)(ac_1\dots c_hbd_1\dots d_k)=(bd_1\dots d_k)(ac_1\dots c_h)\) 。

对换诱导合并公式：\((ab)(bd_1\dots d_k)(ac_1\dots c_h)=(ac_1\dots c_hbd_1\dots d_k)\)

若 \(N(\alpha)\) 为奇数（偶数）则称之为奇（偶）排列，则奇偶排列分别构成了 \(S_n\) 的一个子群，且大小相同均为 \(n!/2\) 。

Orbits. Coset of a Subgroup

G-equivalent 对于集合 \(S\) 上的变换群 \(G\) 和两元素 \(x,y\) ，若存在 \(\alpha\in G\) 使得 \(y=\alpha(x)\) 则称两元素 \(G\) - 等价 \(x\sim_G y\) 。

• 由于 \(G\) 是变换群，容易验证是等价关系：自反有 \(1_S\in G\) ，对称有 \(\alpha^{-1}\in G\) ，传递是群的封闭性。

G-orbit \(G\) - 轨道：由 \(G\) - 等价关系导出等价类 \(Gx=\{\alpha(x)|\alpha\in G\}\)

transitive group 传递群：若 \(G\) - 轨道只有一个（ \(S\) 中全体元素等价）则称 \(G\) 是 \(S\) 的传递群。

left (right) translations 定义左平移 \(g_L: x\to gx\) ，右平移 \(g_R:x\to xg\) 。

定义变换群 \(G_L=\{g_L|g\in G\},G_R=\{g_R|g\in G\}\) ，由于 \(y=gx\) 和 \(y=xg\) 都是可解的，所以两者都是传递群。

假设 \(H\) 是 \(G\) 的一个子群，定义 \(H_L(G)=\{h_L|h\in H\}\) （ \(h_L\) 还是定义在 \(G\) 上的），\(H_L(G)\) 也是一个变换群（ \(g\to g_L\) 是同构映射）。

则 \(H_L\) 导出的轨道 \(Hx=\{hx|h\in H\}\) 称作 \(x\) 关于 \(H\) 的右陪集，易证任意右陪集大小相同，因此 \(|Hx|=|H1|=|H|\) 。

假设 \(G\) 是有限群，且 \(|G|=n,|H|=m\) ，用 \(H_L(G)\) - 轨道将 \(G\) 划分为 \(G=Hx_1\cup Hx_2\cup\dots\cup Hx_r\) 。

称 \(r\) 为 \(H\) 在 \(G\) 中的指数（index）记作 \([G:H]\) 。此时有：1.划分任意两个集合无交； 2. \(|Hx_i|=|H|=m\) 。可以得出 \(n=mr\) 。

这样就证明了 拉格朗日定理 ：对于有限群 \(G\) 的任意子群 \(H\) ，有 \(|G|=|H|[G:H]\) 。

进一步的，有推论：若 \(|G|=n\) ，则对任意 \(x\in G\) 都有 \(x^n=1\) 。

• 证明：假设 \(|\langle x\rangle |=m\) ，用拉格朗日定理有 \(n=mr\) 且 \(x^m=1\) ， 故 \(x^n=(x^m)^r=1\) 。
• 结合此前循环群充要条件，能得到非循环群满足 \(\text{exp}\ G<n\) 。

Congruences. Quotient Monoids and Groups

congruence relation 同余关系 \(\equiv\) ：可乘的等价关系。对于幺半群 \(M\) ，若 \(a\equiv a',b\equiv b'\) ，则有 \(ab\equiv a'b'\) 。

考虑商集 \(\overline{M}=M/\equiv\) ，包含了所有由同余关系导出的等价类 \(\overline{a} = \{b\in M|b\equiv a\}\) 。

那么对于 \(\overline{M}\) 中的等价类 \(\overline{a},\overline{a'},\overline{b}, \overline{b'}\) ，有 \(\overline{a}=\overline{a'},\overline{b}=\overline{b'}\) ，由于 \(ab\equiv a'b'\) ，有 \(\overline{ab}=\overline{a'b'}\) 。

这样我们就获得了一个 \(\overline{M}\) 上良定义的乘法映射 \(\overline{M}\times \overline{M}\to \overline{M}\) ：\((\overline{a},\overline{b})\to \overline{ab}\) ，记作 \(\cdot\) ，易证 \((\overline{M},\cdot,\overline{1})\) 是一个幺半群。

我们称 \((M/\equiv, \cdot, \overline{1})\) 为 \(M\) 关于 \(\equiv\) 的商幺半群。同样称 \((G/\equiv, \cdot, \overline{1})\) 为商群的定义也是正确的。

normal subgroups 正规子群 \(K\unlhd G\) ：满足 \(\forall g\in G, k\in K, g^{-1}kg\in K\) 。

• 容易发现阿贝尔群的任意子群都是正规子群，因为可交换 \(g^{-1}kg=kg^{-1}g=k\) 。

同余关系和正规子群的联系：

• 同余等价类 \(K=\overline{1}\) 是 \(G\) 的正规子群，且对于任意 \(g\in G\) ，有 \(\overline{g}=gK=Kg\) 。
• 对于任意正规子群 \(K\) ，可以由 \(K\) 导出同余关系：\(a\equiv b\pmod k\ \ \text{if}\ \ a^{-1}b\in K\) 。
  • 在此同余关系下，同余等价类的形式为 \(gK\) 。

quotient group 商群：由正规子群 \(K\) 定义的同余关系导出的商群 \(\overline{G}=G/\equiv \pmod k\)

• 商群中的元素是等价类，形式均为 \(\overline{g}=gK\) ，因此乘法 \(\overline{g}\overline{h}=\overline{gh}\) 可以进一步的写作 \((gK)(hK)=ghK\) 。
• 单位元 \(K=\overline{1}=1K\) ，逆元 \((\overline{g})^{-1}=\overline{g^{-1}}=g^{-1}K\) 。

定义子（幺半）群的乘法：\(\forall A,B\le G, AB=\{ab|a\in A, b\in B\}\) 。这样 \((\mathscr{P}(G),\cdot,\{1\})\) 就构成了一个幺半群。

• 集合的乘法对应了商群中的乘法 \((gK)(hK)=g(Kh)K=ghK^2=ghK\)
• 正规子群的等价判定条件，\(\forall g\in G\) 满足：（1）\(g^{-1}Kg\subset K\) （2）\(Kg=gK\)

simple group 单群：只有 \(G\) 和 \(1\) 两个正规子群的群 \(G\ (G\not = 1)\) ，对应的同余关系是 \(=\) 和全部相同。

• 交换的单群（阿贝尔单群）只有素数阶循环群。
• 群 \(G\) 的中心 \(C(G)\) 的任意子群显然都是正规子群（可交换）。

Homomorphisms

homomorphism 同态映射 \(\eta\) ：\(\eta(ab)=\eta(a)\eta(b),\eta(1)=1', \forall a,b\in M\)

epimorphiscm 满同态：满射的同态映射；

monomorphism 单同态：单射的同态映射。

Sylow's Theorems

Sylow I ：假设 \(|G|\) 有限，质数 \(p\) 满足 \(p^k||G|\) ，那么存在子群 \(H\le G\) 且 \(|H|=p^k\)

对 \(|G|\) 从小到大归纳。\(|G|=1\) 时显然成立。现在假设结论对 \(|G'|<|G|\) 的所有 \(G'\) 都成立。

考虑 \(G\) 到自己的共轭作用，有类方程：\(|G|=|C|+\sum_{y_i\in G,y_i\not\in C(G)} [G:C(y_i)]\)

1. 当 \(|C|\) 不是 \(p\) 的倍数时，由于和是 \(p\) 的倍数，因此必然存在 \(j\) ，使得 \([G:C(y_j)]=\frac{|G|}{|C(y_j)|}\) 也不是 \(p\) 的倍数。那么 \(|C(y_j)|\) 就一定是 \(p^k\) 的倍数，而且因为 \(C(y_j)\not = G\) ，有 \(C(y_j)\le G\) ，那么根据假设，存在 \(H\le C(y_j)\le G\) ，满足 \(|H|=p^k\) 。

Cauchy 引理，对于有限交换群 \(G\) ，如果质数 \(p||G|\) ，那么存在 \(a\in G, |\langle a\rangle|=p\)

2. 否则 \(|C|\) 是 \(p\) 的倍数。因为 \(C\) 是有限交换群，因此跟去 Cauchy 定理，\(\exists c\in C,|\langle c\rangle|=p\) 。而且 \(\langle c\rangle \le C\unlhd G\) ，是 \(G\) 的正规子群。考虑 \(G/\langle c\rangle\) 这个商群，\(|G/\langle c\rangle|<|G|\) 且能被 \(p^{k-1}\) 整除。由归纳假设存在 \(K\le G/\langle c\rangle,|K|=p^{k-1}\) 。那么 \(K\) 的形式为 \(H/\langle c\rangle\) 且 \(H\) 是 \(G\) 中一个包含 \(\langle c\rangle\) 的子群。那么有

\[ |H|=[H:\langle c\rangle]|\langle c\rangle|=p^{k-1}p=p^k \]