Concepts from Set Theory

THE POWER SET OF A SET

Power Set $\mathcal{P}(S)=\{s|s\subseteq S\},|\mathcal{P}(S)|=2^{|S|}$ .

THE CARTESIAN PRODUCT SET. MAPS

Cartesian Product Set $S\times T=\{(s,t)|s\in S,t\in T\},|S\times T|=|S||T|$ .

Map of a set $S$ into a set $T$ ( $S\stackrel{\alpha }{\to }T$ ) : domain $S$ , co-domain $T$ , a subset $\alpha$ of $S\times T$ having properties:

1. For any $s\in S$ there exists a $t\in T$ such that $(s,t)\in \alpha$.
2. "Single-valuedness": If $(s,t)$ and $(s,t^{\prime })\in \alpha$ then $t=t^{\prime }$.

Composite / Product / Resultant of $\alpha$ and $\beta$ : $(\beta \alpha )(s)=\beta (\alpha (s))$ .

• Composition of maps satisfies the associative law : $\gamma (\beta \alpha )=(\gamma \beta )\alpha$

Surjective : if im $\alpha =T$, that is, if the range coincides with the co-domain.

Injective : if distinct elements of $S$ have distinct images in $T$, that is, if $s_1\ne s_2\Rightarrow \alpha \left(s_1\right)\ne \alpha \left(s_2\right)$.

Bijective (a one to one correspondence) : If $\alpha$ is both injective and surjective.

$S\stackrel{\alpha }{\to }T$ is bijective if and only if there exists a map $T\stackrel{\beta }{\to }S$ such that $\beta \alpha =1_S$ and $\alpha \beta =1_T$.

Proof. Suppose $S\stackrel{\alpha }{\to }T$ is bijective. Consider the subset $\beta$ of $T\times S$ of elements $(\alpha (s),s)$. If $t\in T$, surjectivity of $\alpha$ implies there is an $s$ in $S$ such that $\alpha (s)=t$. Hence condition 1 in the definition of a map from $T$ to $S$ holds for the set $\beta$ of pairs $(\alpha (s),s)\in T\times S$. Condition 2 holds for $\beta$ by the injectivity of $\alpha$, since if $(t,s_1)$ and $(t,s_2)$ are in $\beta$, then $\alpha \left(s_1\right)=t$ and $\alpha \left(s_2\right)=t$, so $s_1=s_2$. Hence we have the map $T\stackrel{\beta }{\to }S$. If $s\in S$, the facts that $(s,\alpha (s))\in \alpha$ and $(\alpha (s),s)\in \beta$ imply that $\beta (\alpha (s))=s$. Thus $\beta \alpha =1_s$. If $t\in T$, we have $t=\alpha (s),s\in S$, and $(t,s)\in$ $\beta$, so $\beta (t)=s\in S$. Hence $\alpha (\beta (t))=\alpha (s)=t$, so $\alpha \beta =1_T$. Conversely, suppose $S\stackrel{\alpha }{\to }T,T\stackrel{\beta }{\to }S$ satisfy $\beta \alpha =1_S,\alpha \beta =1_T$. If $t\in T$, let $s=\beta (t)$. Then $\alpha (s)=$ $\alpha (\beta (t))=t$; hence $\alpha$ is surjective. Next suppose $\alpha \left(s_1\right)=\alpha \left(s_2\right)$ for $s_i\in S$. Then $s_1=$ $\beta \left(\alpha \left(s_1\right)\right)=\beta \left(\alpha \left(s_2\right)\right)=s_2$, and $\alpha$ is injective.

Inverse with "dressing-undressing principle" : $(\beta \alpha {)}^{-1}={\alpha }^{-1}{\beta }^{-1}$ .

EQUIVALENCE RELATIONS. FACTORING A MAP

Equivalence Relation : Reflexive property $aEa$ , Symmetry $aEb\Rightarrow bEa$ , Transitivity $aEb\text{and}bEc\Rightarrow aEc$ .

• equivalence class determined by $a$ : ${\overline{a}}_E$ (or simply $\overline{a}$ ) $=\{b\in S\mid bEa\}$.
• An equivalence relation is equivalent to that of a partition of a set. ${\pi }_E=\{\overline{a}\mid a\in S\}$.
• the quotient set of $S$ relative to the relation $E$ : $S/E=\pi =\{\overline{a}\mid a\in S\}$ , a subset of the power set $\mathcal{P}(S)$ of $S$.
• natual map : $v:a\to \overline{a}.$

Inverse Image : Construct $E_{\alpha }$ by map $S\stackrel{\alpha }{\to }T$ : $a{E}_{\alpha }b\iff \alpha (a)=\alpha (b)$ , then ${\alpha }^{-1}(c)=\{a\in S|\alpha (a)=c\}$

$\overline{\alpha }:S/E_{\alpha }\to T$ the map of $S/E_{\alpha }$ induced by $\alpha$ : $\overline{\alpha }(\overline{a})=\alpha (a),\overline{a}={\alpha }^{-1}(\alpha (a))$ , injective.

Factorization of map $\alpha$ : $\alpha =\overline{\alpha }v$ ，where $v$ is the natural map of $S$ to $S/E_{\alpha }$ .

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进入正题！

研究角度：1. 本身性质；2. 子结构（子群、正规子群）；3. 映射关系（群同构，群同态）

Monoids of Transformations and Abstract Monoids

semi-group. 半群：封闭性，结合律。

monoid. 幺半群 $(M,p,1)$ ：封闭性，结合律，单位元。

submonoid. 子幺半群 $(N,p,1)$ ：集合包含 $N\subseteq M$ ，是幺半群。

set of transformations of S. 在 $S$ 上的变换集 $M(S)$ ：包含所有 $S\to S$ 的函数的集合，$|M(S)|=|S{|}^{|S|}$ 。

monoid of transformations. 变换幺半群：$(M(S),\text{映射复合},1_S)$ 的子群

Groups of Transformations and Abstract Groups

group. 群 $(G,p,1)$ ：封闭性，结合律，单位元，所有元素可逆。

subgroup. 子群 $(H,p,1)$ ：集合包含 $H\subseteq G$ ，是群。记作 $H\le G$ 。

the group of invertible elements of M. 幺半群 $M$ 中可逆元组成的群 $U(M)$ ：容易验证是一个群。

symmetric group of the set S. $S$ 的对称群 $\text{Sym}S=U(M(S))$ : $S$ 上的可逆变换构成的群（全体双射）。

group of transformations. 变换群：对称群 $\text{Sym}S$ 的子群。

symmetric group on n letters. $n$ 元对称群 $S_n$ ：$\{1,2,\dots n\}$ 的全体排列构成的群，$|S_n|=n!$ 。

permutation group. 置换群：有限元对称群 $S_n$ 的子群。

Isomorphism. Cayley's theorem

isomorphic. 幺半群/群同构：存在双射 $\eta :M\to M^{\prime }$ ，保运算 $\eta (xy)=\eta (x)\eta (y)$ ，且 $\eta (1)=1^{\prime }$ （可由保运算推出）。

isomorphism. 同构函数 $\eta$ ，可能不止一个，例如 $(\mathbb{R},+,0)$ 和 $({\mathbb{R}}^{+},\cdot ,1)$ 的同构函数可以取 $\eta (x)=a^x(a>0,a\ne 1)$ 。

同构是一个等价关系，可以通过单位映射实现自反性，同构函数的求逆和复合实现对称性和传递性。

Cayley 定理： (1) 任意幺半群 $M$ 同构于一个交换幺半群；(2) 任意群 $G$ 同构于一个交换群。

（1）对 $M$ 中的每个元素 $a$ 定义左平移变换 $a_L:M\to M,a_L(x)=ax$ ，则 $M$ 同构于变换幺半群 $M_L=\{a_L|a\in M\}$ 。

（2）同理构造，额外验证对求逆元封闭：$1_L=(a^{-1}a{)}_L=(a^{-1}{)}_L{a}_L$ ，即 $a_L$ 的逆是 $(a^{-1}{)}_L$ 。

推论：任意 $n$ 阶有限群同构于一个 $n$ 元置换群。

Generalized Associativity. Commutativity

广义结合律： 由结合律可导出 $(\prod _{i=1}^n{a}_i)(\prod _{j=1}^m{a}_{j+n})=\prod _{i=1}^{n+m}{a}_k$ ，进一步可定义整数次幂运算 $a^n$ 和 $a^{-n}=(a^{-1}{)}^n$

commute. 称 $a,b\in M$ 是可交换的，当且仅当 $ab=ba$ 。对于一组可交换的元素连乘，运算的顺序并不重要。

commutative monoid. 交换幺半群：幺半群 $M$ ，任意两元素 $a,b$ 均可交换。

abelian groups (commutative groups). 阿贝尔群（交换群）：群 $G$ ，任意两元素 $a,b$ 均可交换。

centralizer of a. $a$ 的中心化子 $C(a)$ ： $M$ 中与 $a$ 可交换的元素集。易证 $C(a)$ 是 $M$ 的子幺半群，定义同样适用于群。

引理：幺半群 $M$ 的若干个子幺半群的交仍然是幺半群，群 $G$ 的若干个子群的交仍然是群。

将中心化子的定义扩展到集合，定义集合 $A$ 的中心化子 $C(A)={\cap }_{a\in A}C(a)$ ，由引理 $C(A)$ 是子幺半群（子群）。

the center of M. $M$ 的中心 $C(M)$ ：含义是 $M$ 中可以与所有元素交换的元素集，显然包含 $1$ 。

在交换幺半群/交换群中我们常用加号来代替乘号来表示对应运算，用 $0$ 代替 $1$ 来表示单位元。

Submonoids and Subgroups Generated by a Subset. Cyclic Groups

the submonoid generated by S. 由 $S$ 生成的子幺半群 $⟨S⟩$ ：对于 $S\subseteq M$ ， $M$ 中包含 $S$ 的最小的子幺半群。

• 抽象刻画（存在性）：取所有包含 $S$ 的子群求交即为 $⟨S⟩$ ，且 $⟨S⟩$ 是任意包含 $S$ 的子群的子群；

• 构造性证明：$⟨S⟩=\{1,s_1{s}_2\cdots s_r|s_i\in S,r\text{为有穷正整数}\}$ ，首先右侧是个幺半群，然后证互相包含：

  1. 由幺半群的运算封闭性， $⟨S⟩$ 包含右侧构成的幺半群；

  2. 右侧的集合包含 $S$ （取 $r=1$ ) ，由存在性引理，进一步的右侧的幺半群包含 $⟨S⟩$ 。

the subgroup generated by S. 由 $S$ 生成的子群 $⟨S⟩$ ：定义同上述，$⟨S⟩=\{1,s_1{s}_2\cdots s_r|s_i\text{or}{s}_i^{-1}\in S,r\text{为有穷正整数}\}$

cyclic group. 循环群：由一个元素的集合生成的群 $G=⟨a⟩=\{a^k|k\in \mathbb{Z}\}$ ，显然是一个阿贝尔群（可交换）。

• 任意无限循环群都与 $(\mathbb{Z},+,0)=⟨1⟩$ 同构，通过映射 $n\to a^n$ 。
• 任意有限阶（$n$ 阶）循环群都与 $n$ 次单位根生成的循环群 $U_n=\{x|x^n=1\}$ 同构。

1. 循环群的子群是循环群；

2. 无限循环群 $⟨a⟩$ 的子群都是无限的，且 $s\to ⟨a^s⟩$ 是 $\mathbb{N}$ 到 $⟨a⟩$ 的全体子群的双射（ $a$ 任意次幂生成的群两两不同）；

3. $n$ 阶循环群 $⟨a⟩$ 的子群的阶都是 $n$ 的因数，且对于 $n$ 的每个因数 $q$ ，有且仅有一个 $⟨a⟩$ 的子群阶为 $q$ 。

   • 这个 $q$ 阶子群可以被构造性的刻画：$H=\{b|b\in ⟨a⟩,b^q=1\}$ 。

the order of a 元素 $a$ 的阶 $o(a)$ ：若 $⟨a⟩$ 是无限群 $⟨a⟩=+\mathrm{\infty }$ ；否则 $o(a)=|⟨a⟩|=r$ ，其中 $r$ 是满足 $a^r=1$ 的最小正整数。

• 若 $a^m=1$ ，则 $o(a)|m$ 。
• 若 $o(a)=r<+\mathrm{\infty }$ ，则 $o(a^k)=[r,k]/k=r/(r,k)$ ，因此 $o(a^k)|r$ 。

exponent of a finite group G. 有限群 $G$ 的方次数 $\text{exp}G=$ 最小的正整数 $e$ ，满足 $\mathrm{\forall }x\in G,x^e=1$ 。

定理：有限交换群是循环群的充要条件为方次数等于阶数（ $\text{exp}G=|G|$ ）。

• 引理 1. 设 $G$ 为有限交换群，设 $g,h\in G$ 且 $o(g)=m,o(h)=n,(m,n)=1$ ，则 $o(gh)=mn$ 。

  • $(gh{)}^{mn}=g^{mn}{h}^{mn}=(g^m{)}^n(h^n{)}^m=1$ 。

  • 假设 $(gh{)}^r=1$ ，设 $k=g^r=h^{-r}\in ⟨g⟩\cap ⟨h⟩$ ，有 $o(k)|m,o(k)|n\Rightarrow o(k)|(m,n)\Rightarrow o(k)=1$

    因此 $g^r=k=1\Rightarrow (gh{)}^r=g^r{h}^r=h^r=1$ 因此 $m|r,n|r\Rightarrow [m,n]|r$ 又 $(m,n)=1$ 有 $mn|r$ 。

• 引理 2. 设 $G$ 为有限交换群，设 $g=\arg \underset{g\in G}{max}o(g)$ ，则 $\text{exp}G=o(g)$ 。

  • 标准分解 $o(g)=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\dots p_s^{e_s},o(h)=p_1^{f_1}{p}_2^{f_2}\dots p_s^{f_s}(e_i,f_i\ge 0)$

  • 反证：若 $h\in G,h^{o(g)}\ne 1$ ，则一定存在某个 $f_i>e_i$ ，不妨设 $f_1>e_1$ 。

    接下来我们构造一个与 $\arg max$ 冲突的元素：设 $g^{\prime }=g^{p_1^{e_1}},h^{\prime }=h^{p_2^{f_2}\dots p_s^{f_s}}$ ，

    于是有 $o(g^{\prime })=p_2^{e_2}\dots p_s^{e_s},o(h^{\prime })=p_1^{f_1}$ ，那么由引理 1， $o(g^{\prime }{h}^{\prime })=p_1^{f_1}{p}_2^{e_2}\dots p_s^{e_s}>o(g)$ 矛盾。

• " $\Rightarrow$ " 证明：由于是循环群 $G=⟨g⟩$ ，$|G|=|⟨g⟩|=o(g)=\text{exp}G$ 。

• " $\Leftarrow$ " 证明：由引理 2，存在 $g$ 使得 $\text{exp}G=o(g)$ ，又由于交换群 $G$ 满足 $\text{exp}G=|G|$ ，因此 $|G|=o(g)=|⟨g⟩|$ 。

Cycle Decomposition of Permutations

r-cycle $r$ - 循环：若置换 $\gamma$ 满足去掉稳定点后，满足置换效果是循环，即对于所有不是稳定点的下标 $i_1,i_2,\dots ,i_r,(r>1)$ ： $$\gamma (i_1)=i_2,\gamma (i_2)=i_3,\dots ,\gamma (i_{r-1})=i_r,\gamma (i_r)=i_1$$ 此时我们称这组数是一个 $r$ - 循环，记作 $\gamma =(i_1{i}_2\dots i_r)$ ，即每个点都会换成右侧的，同理可以记作 $\gamma =(i_2{i}_3\dots i_r{i}_1)$ 等等。

用排列的复合可得 ${\gamma }^k(i_j)=i_{j+k}$ (下标每 $r$ 循环)。明显 ${\gamma }^r=1$ 且 ${\gamma }^k\ne 1,1\le k<r$ ，所以 $\gamma$ 的阶（order）为 $r$ 。

disjoint 若两个循环包含的元素无交，则称两个循环不相交，对应的排列复合等同于分别运算，此时排列复合是可交换的。

考虑一组循环（对应置换）的连乘积 $\alpha =(i_1{i}_2\dots i_{n_1})(j_1{j}_2\dots j_{n_2})\dots (l_1{l}_2\dots l_{n_k})$ ，那么 $o(\alpha )=[n_1,n_2,\dots ,n_m]$ 。

若我们引入 $1$ - 循环，则很容易得到置换唯一分解为不相交的循环的方法，每次从最小未使用的元素找到一个循环。

transposition 对换：一个 $2$ - 循环，即 $(ab)$ 的形式。任何一个 $r$ - 循环都可以拆成 $r-1$ 个对换的乘积，即： $$(i_1{i}_2\dots i_r)=(i_1{i}_r)\dots (i_1{i}_3)(i_1{i}_2)$$ 因此一个置换 $\alpha$ 可以拆成 $N(\alpha )=\sum (n_i-1)$ 个对换的乘积。

一个置换的对换分解不是唯一的（在最简单的对换分解基础上可以引入很多额外的对换），但共性是对换个数的奇偶性相同。

对换诱导分裂公式：$(ab)(a{c}_1\dots c_{h}b{d}_1\dots d_k)=(b{d}_1\dots d_k)(a{c}_1\dots c_h)$ 。

对换诱导合并公式：$(ab)(b{d}_1\dots d_k)(a{c}_1\dots c_h)=(a{c}_1\dots c_{h}b{d}_1\dots d_k)$

若 $N(\alpha )$ 为奇数（偶数）则称之为奇（偶）排列，则奇偶排列分别构成了 $S_n$ 的一个子群，且大小相同均为 $n!/2$ 。

Orbits. Coset of a Subgroup

G-equivalent 对于集合 $S$ 上的变换群 $G$ 和两元素 $x,y$ ，若存在 $\alpha \in G$ 使得 $y=\alpha (x)$ 则称两元素 $G$ - 等价 $x{\sim }_{G}y$ 。

• 由于 $G$ 是变换群，容易验证是等价关系：自反有 $1_S\in G$ ，对称有 ${\alpha }^{-1}\in G$ ，传递是群的封闭性。

G-orbit $G$ - 轨道：由 $G$ - 等价关系导出等价类 $Gx=\{\alpha (x)|\alpha \in G\}$

transitive group 传递群：若 $G$ - 轨道只有一个（ $S$ 中全体元素等价）则称 $G$ 是 $S$ 的传递群。

left (right) translations 定义左平移 $g_L:x\to gx$ ，右平移 $g_R:x\to xg$ 。

定义变换群 $G_L=\{g_L|g\in G\},G_R=\{g_R|g\in G\}$ ，由于 $y=gx$ 和 $y=xg$ 都是可解的，所以两者都是传递群。

假设 $H$ 是 $G$ 的一个子群，定义 $H_L(G)=\{h_L|h\in H\}$ （ $h_L$ 还是定义在 $G$ 上的），$H_L(G)$ 也是一个变换群（ $g\to g_L$ 是同构映射）。

则 $H_L$ 导出的轨道 $Hx=\{hx|h\in H\}$ 称作 $x$ 关于 $H$ 的右陪集，易证任意右陪集大小相同，因此 $|Hx|=|H1|=|H|$ 。

假设 $G$ 是有限群，且 $|G|=n,|H|=m$ ，用 $H_L(G)$ - 轨道将 $G$ 划分为 $G=H{x}_1\cup H{x}_2\cup \cdots \cup H{x}_r$ 。

称 $r$ 为 $H$ 在 $G$ 中的指数（index）记作 $[G:H]$ 。此时有：1.划分任意两个集合无交； 2. $|H{x}_i|=|H|=m$ 。可以得出 $n=mr$ 。

这样就证明了 拉格朗日定理 ：对于有限群 $G$ 的任意子群 $H$ ，有 $|G|=|H|[G:H]$ 。

进一步的，有推论：若 $|G|=n$ ，则对任意 $x\in G$ 都有 $x^n=1$ 。

• 证明：假设 $|⟨x⟩|=m$ ，用拉格朗日定理有 $n=mr$ 且 $x^m=1$ ， 故 $x^n=(x^m{)}^r=1$ 。
• 结合此前循环群充要条件，能得到非循环群满足 $\text{exp}G<n$ 。

Congruences. Quotient Monoids and Groups

congruence relation 同余关系 $\equiv$ ：可乘的等价关系。对于幺半群 $M$ ，若 $a\equiv a^{\prime },b\equiv b^{\prime }$ ，则有 $ab\equiv a^{\prime }{b}^{\prime }$ 。

考虑商集 $\bar{M}=M/\equiv$ ，包含了所有由同余关系导出的等价类 $\bar{a}=\{b\in M|b\equiv a\}$ 。

那么对于 $\bar{M}$ 中的等价类 $\bar{a},\overline{a^{\prime }},\bar{b},\overline{b^{\prime }}$ ，有 $\bar{a}=\overline{a^{\prime }},\bar{b}=\overline{b^{\prime }}$ ，由于 $ab\equiv a^{\prime }{b}^{\prime }$ ，有 $\overline{ab}=\overline{a^{\prime }{b}^{\prime }}$ 。

这样我们就获得了一个 $\bar{M}$ 上良定义的乘法映射 $\bar{M}\times \bar{M}\to \bar{M}$ ：$(\bar{a},\bar{b})\to \overline{ab}$ ，记作 $\cdot$ ，易证 $(\bar{M},\cdot ,\bar{1})$ 是一个幺半群。

我们称 $(M/\equiv ,\cdot ,\bar{1})$ 为 $M$ 关于 $\equiv$ 的商幺半群。同样称 $(G/\equiv ,\cdot ,\bar{1})$ 为商群的定义也是正确的。

normal subgroups 正规子群 $K⊴G$ ：满足 $\mathrm{\forall }g\in G,k\in K,g^{-1}kg\in K$ 。

• 容易发现阿贝尔群的任意子群都是正规子群，因为可交换 $g^{-1}kg=k{g}^{-1}g=k$ 。

同余关系和正规子群的联系：

• 同余等价类 $K=\bar{1}$ 是 $G$ 的正规子群，且对于任意 $g\in G$ ，有 $\bar{g}=gK=Kg$ 。
• 对于任意正规子群 $K$ ，可以由 $K$ 导出同余关系：$a\equiv b(\mathrm{mod}k)\text{if}{a}^{-1}b\in K$ 。
  • 在此同余关系下，同余等价类的形式为 $gK$ 。

quotient group 商群：由正规子群 $K$ 定义的同余关系导出的商群 $\bar{G}=G/\equiv (\mathrm{mod}k)$

• 商群中的元素是等价类，形式均为 $\bar{g}=gK$ ，因此乘法 $\bar{g}\bar{h}=\overline{gh}$ 可以进一步的写作 $(gK)(hK)=ghK$ 。
• 单位元 $K=\bar{1}=1K$ ，逆元 $(\bar{g}{)}^{-1}=\overline{g^{-1}}=g^{-1}K$ 。

定义子（幺半）群的乘法：$\mathrm{\forall }A,B\le G,AB=\{ab|a\in A,b\in B\}$ 。这样 $(\mathcal{P}(G),\cdot ,\{1\})$ 就构成了一个幺半群。

• 集合的乘法对应了商群中的乘法 $(gK)(hK)=g(Kh)K=gh{K}^2=ghK$
• 正规子群的等价判定条件，$\mathrm{\forall }g\in G$ 满足：（1）$g^{-1}Kg\subset K$ （2）$Kg=gK$

simple group 单群：只有 $G$ 和 $1$ 两个正规子群的群 $G(G\ne 1)$ ，对应的同余关系是 $=$ 和全部相同。

• 交换的单群（阿贝尔单群）只有素数阶循环群。
• 群 $G$ 的中心 $C(G)$ 的任意子群显然都是正规子群（可交换）。

Homomorphisms

homomorphism 同态映射 $\eta$ ：$\eta (ab)=\eta (a)\eta (b),\eta (1)=1^{\prime },\mathrm{\forall }a,b\in M$

epimorphiscm 满同态：满射的同态映射；

monomorphism 单同态：单射的同态映射。

Sylow's Theorems

Sylow I ：假设 $|G|$ 有限，质数 $p$ 满足 $p^k||G|$ ，那么存在子群 $H\le G$ 且 $|H|=p^k$

对 $|G|$ 从小到大归纳。$|G|=1$ 时显然成立。现在假设结论对 $|G^{\prime }|<|G|$ 的所有 $G^{\prime }$ 都成立。

考虑 $G$ 到自己的共轭作用，有类方程：$|G|=|C|+\sum _{y_i\in G,y_i\notin C(G)}[G:C(y_i)]$

1. 当 $|C|$ 不是 $p$ 的倍数时，由于和是 $p$ 的倍数，因此必然存在 $j$ ，使得 $[G:C(y_j)]=\frac{|G|}{|C(y_j)|}$ 也不是 $p$ 的倍数。那么 $|C(y_j)|$ 就一定是 $p^k$ 的倍数，而且因为 $C(y_j)\ne G$ ，有 $C(y_j)\le G$ ，那么根据假设，存在 $H\le C(y_j)\le G$ ，满足 $|H|=p^k$ 。

Cauchy 引理，对于有限交换群 $G$ ，如果质数 $p||G|$ ，那么存在 $a\in G,|⟨a⟩|=p$

2. 否则 $|C|$ 是 $p$ 的倍数。因为 $C$ 是有限交换群，因此跟去 Cauchy 定理，$\mathrm{\exists }c\in C,|⟨c⟩|=p$ 。而且 $⟨c⟩\le C⊴G$ ，是 $G$ 的正规子群。考虑 $G/⟨c⟩$ 这个商群，$|G/⟨c⟩|<|G|$ 且能被 $p^{k-1}$ 整除。由归纳假设存在 $K\le G/⟨c⟩,|K|=p^{k-1}$ 。那么 $K$ 的形式为 $H/⟨c⟩$ 且 $H$ 是 $G$ 中一个包含 $⟨c⟩$ 的子群。那么有

$$|H|=[H:⟨c⟩]|⟨c⟩|=p^{k-1}p=p^k$$